Замечательные неравенства: способы получения и
примеры применения: 10-11 классы. Учебное пособие. Гомонов С.А. 
 

2-е изд. — М.: 2006, 256 с. 

Книга «Замечательные неравенства способы получения и примеры применения 10-11 классы. Учебное пособие. Гомонов С.А.» рекомендована для использования в общеобразовательных учреждениях с углубленным изучением математики. В книге иметься два раздела, каждый из которых содержит десять глав. В части первой рассматриваются числовые неравенства и их свойства, а также упражнения, которые способствуют повторению пройденного материала. Часть вторая рассказывает о средних величинах и соотношениях между ними. В каждой отдельно взятой главе находиться большое количество заданий для самостоятельных работ. В конце пособия даются ответы на самые сложные задания.

Формат:
djvu / zip
   

Размер:
9,8 Мб

Скачать:
 rusfolder.com
 

СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 3
Введение 6
Часть 1. Замечательные неравенства 9
Глава I. Числовые неравенства и их свойства 9
§ 1. Некоторые понятия и свойства, считающиеся известными 9
§ 2. Понятия «больше» и «меньше» для действительных чисел. Числовые неравенства
10
§ 3. Простейшие свойства числовых неравенств 11
Литература для повторения 14
Упражнения для повторения 14
Темы докладов и рефератов и литература к ним … 15
Глава II Основные методы установления истинности числовых неравенств, или как
узнать, «что больше?» 16
§ 1. Сравнение двух действительных чисел (заданных как значения числовых
выражений) «по определению» 17
§ 2. Сравнение двух положительных действительных чисел путем сравнения с
единицей их отношения 18
§ 3. Сравнение действительных чисел с помощью сравнения их степеней 18
§ 4. Метод сравнения двух чисел с помощью нахождения «промежуточного» для них
числа (метод оценок «сверху» и «снизу») 20
§ 5*. Метод вспомогательной функции и использования ее свойств 21
§ 6. Метод применения замечательных неравенств 22
§ 7*. Применение определенного интеграла 23
§ 8. Решения задач, иллюстрирующих перечисленные выше методы и не только их 24
Задачи для самостоятельного решения 27
Темы докладов и рефератов и литература к ним … 30
Глава III. Основные методы решения задач на установление истинности
неравенств с переменными. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и
применения 31
§ 1. Понятие неравенства с переменными и его решения. Неравенство-следствие.
Равносильные неравенства. Опровержимые неравенства 32
§ 2. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с
переменными 40
§ 3. Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения 56
Задачи для самостоятельного решения 62
Темы докладов и рефератов и литература к ним … 66
Глава IV. Метод математической индукции и его применение к доказательству
неравенств. Неравенство Коши для произвольного числа переменных 68
§ 1. Метод перебора всех вариантов («полная индукция») и метод
математической индукции. Система аксиом Джузеппе Пеано 68
§ 2. Схема применения принципа (аксиомы) математической индукции и некоторые
модификации принципа математической индукции 69
§ 3*. Теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей 74
§ 4. Неравенство Коши для произвольного числа переменных 79
Задачи для самостоятельного решения 84
Темы докладов и рефератов и литература к ним … 87
Глава V. Неравенство Коши—Буняковского и его применение к решению задач 89
§ 1. Неравенство Коши—Буняковского и условия его реализации в варианте
равенства 90
§ 2*. Векторный вариант записи неравенства Коши—Буняковского и
тригонометрические подстановки 93
Задачи для самостоятельного решения 98
Темы докладов и рефератов и литература к ним … 102
Глава VI. Неравенства подсказывают методы их обоснования 104
§ 1*. Приближение к экстремуму выравниванием значений переменных (метод
Штурма) 104
§ 2*. Использование симметричности, однородности и цикличности левой и правой
частей неравенства 110
§ 3. Геометрические неравенства, устанавливаемые с применением соотношений между
длинами сторон треугольника 117
§ 4*. Условные тождества 119
Задачи для самостоятельного решения 120
Темы докладов и рефератов и литература к ним … 124
Часть 2. Средние величины и соотношения между ними … 127
Глава VII. Средние степенные величины: свойства, происхождение и применение 128
§ 1. Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое
в случае двух и большего числа параметров. Соотношения между ними 128
§ 2. Геометрические интерпретации. Четыре средние линии трапеции 134
§ 3*. Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее
арифметико-гармоническое 138
§ 4*. Симметрические средние. Теорема Мюрхеда 139
§ 5*. Круговые неравенства, методы их доказательства и опровержения 141
§ 6. Среднее арифметическое взвешенное и его свойства …. 145
§ 7. Средние степенные и средние взвешенные степенные … 147
Задачи для самостоятельного решения 152
Темы докладов и рефератов и литература к ним … 153
Глава VIII. Неравенство Чебышёва и некоторые его обобщения 155
§ 1. Неравенство Чебышёва и некоторые его простейшие обобщения 155
§ 2*. Некоторые обобщения неравенств Чебышёва и Коши—Буняковского 160
Задачи для самостоятельного решения 168
Темы докладов и рефератов и литература к ним … 169
Глава IX. Генераторы замечательных неравенств 170
§ 1. Мы с ними уже встречались 170
§ 2*. Свойства одномонотонных последовательностей — источник замечательных
неравенств 183
§ 3. Неравенство Иенсона 198
Неравенства Коши—Гельдера и Минковского 213
Задачи для самостоятельного решения 217
Темы докладов и рефератов и литература к ним … 221
Глава X. Применение неравенств 223
§ 1. Неравенства в финансовой математике 224
§ 2. Задача Дидоны и другие задачи на оптимизацию 226
§ 3. Поиск наибольших и наименьших значений функций с помощью замечательных
неравенств 229
Задачи для самостоятельного решения 233
Темы докладов и рефератов и литература к ним … 235
Контрольные работы 236
Краткий биографический словарик 239
Ответы 241
Библиография 243


Share on FacebookShare on VKShare on Google+Tweet about this on Twitter

Читайте также: